Matura informatyka maj 2026, zadanie 5 (systemy liczbowe) — rozwiązanie

Nigdy nie przeliczaj „z piątkowego wprost na trójkowy". Zawsze przez dziesiętny. Dwie operacje załatwiają każdą konwersję i to jedyna metoda, przy której nie gubisz cyfry.

Arkusz CKE — maj 2026, rozszerzony

Zasada — dwie konwersje

Do dziesiętnego — schemat Hornera. Bierzesz pierwszą cyfrę, mnożysz przez podstawę, dodajesz następną, znowu mnożysz. Zero osobnych potęg.

Z dziesiętnego — dzielenie z resztą. Reszty dopisujesz z lewej strony, aż liczba spadnie do zera.

def na_dziesietny(s, b):
    w = 0
    for cyfra in s:
        w = w * b + int(cyfra)
    return w

def z_dziesietnego(n, b):
    if n == 0:
        return "0"
    r = ""
    while n > 0:
        r = str(n % b) + r
        n //= b
    return r

Zadanie 5 — rozwiązanie równania

Równanie spina liczbę w systemie piątkowym, dziesiętnym i trójkowym wokół wartości 427.

Lewa strona — szukasz liczby piątkowej:

1440₍₅₎ = 1·125 + 4·25 + 4·5 + 0 = 245

Brakująca liczba dziesiętnie to 427 − 245 = 182. Na piątkowy:

182 = 1·125 + 2·25 + 1·5 + 2 → 1212₍₅₎

Prawa strona — szukasz liczby trójkowej:

110002₍₃₎ = 243 + 81 + 2 = 326

Skoro szukana minus 110002₍₃₎ daje 427, to dziesiętnie jest to 427 + 326 = 753. Na trójkowy:

753 = 1·729 + 2·9 + 2·3 → 1000220₍₃₎

Odpowiedź:

1440₍₅₎ + 1212₍₅₎ = 427₍₁₀₎ = 1000220₍₃₎ − 110002₍₃₎

Sprawdzenie: 245 + 182 = 427 oraz 753 − 326 = 427. Obie równości spinają się na tej samej wartości.

Gdzie tracisz punkty

• Cyfra spoza systemu. W piątkowym dozwolone są tylko 0–4, w trójkowym 0–2. Po zapisaniu wyniku sprawdź każdą cyfrę. Piątka w „piątkowym" to natychmiastowy błąd.
• Zgubione zero w środku. Liczba trójkowa ma tu siedem cyfr — 1000220₍₃₎, nie sześć. Przy dzieleniu z resztą licz reszty do końca, aż n spadnie do zera, i dopisuj każdą, również zera.
• Konwersja między systemami na skróty. Przejście „piątkowy → trójkowy" bez przystanku w dziesiętnym prawie zawsze kończy się pomyłką. Wyjątek to sytuacja, gdy jedna podstawa jest potęgą drugiej (9 = 3², 16 = 2⁴) — wtedy grupujesz cyfry i to jest szybsze.

Ten sam wzorzec w innych arkuszach

Systemy liczbowe są w każdym arkuszu. To najpewniejsze punkty na tej maturze i nie wymagają programowania:

• maj 2025, zad. 5 — dodawanie binarne — ten sam zapis pozycyjny, działanie zamiast konwersji
• maj 2026, zad. 2 — liczenie przeniesień — dodawanie pod kreską, tylko próg inny
• grudzień 2024, zad. 1 — pozycje jedynek — rozkład na potęgi dwójki

Z tego samego arkusza: zad. 1 (rekurencja), zad. 3 (pary słów).

---

Zadanie z systemów liczbowych jest w każdej maturze i robi się je na kartce, bez kodu. To jedna z pierwszych rzeczy w Variancie.