Dodawanie w systemie binarnym — matura informatyka krok po kroku

Systemy liczbowe to jeden z tych tematów, które na maturze z informatyki wracają jak bumerang. Prawie każdy arkusz formuły 2023 ma podpunkt z konwersją albo działaniem w systemie dwójkowym. Dobra wiadomość: dodawanie binarne jest prostsze niż dziesiętne. Masz tylko cztery sytuacje do zapamiętania, a nie tabliczkę dodawania do dziesięciu.

Pokażę Ci je na konkretnym przykładzie, rozpisanym pod kreską, i dam sposób na sprawdzenie, czy nie pomyliłeś się przy przeniesieniach.

Cztery reguły i tyle

W systemie dwójkowym masz tylko dwie cyfry: 0 i 1. Dodawanie działa dokładnie jak na papierze w dziesiętnym, tylko „przekręca się" już przy dwójce, nie przy dziesiątce:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10    → piszesz 0, przenosisz 1
1 + 1 + 1 = 11 → piszesz 1, przenosisz 1   (to przypadek z przeniesieniem z poprzedniej kolumny)

Cała sztuka to ostatnia reguła. Gdy w kolumnie zbierze Ci się więcej niż jedna jedynka, część wyniku „wychodzi" do kolejnej kolumny jako przeniesienie. Dokładnie tak, jak gdy w dziesiętnym dodasz 7 + 5 i przenosisz jedynkę.

Przykład rozpisany pod kreską

Dodajmy 1011 i 1101. Idziemy od prawej do lewej, kolumna po kolumnie, i pilnujemy przeniesień:

   przeniesienia: 1 1 1 1
                    1 0 1 1
                  + 1 1 0 1
                  ---------
                  1 1 0 0 0

Rozpiszmy każdą kolumnę, żeby było jasne, skąd się biorą przeniesienia:

Kolumna 1 (prawa):  1 + 1 = 10              → piszę 0, przenoszę 1
Kolumna 2:          1 + 0 + 1(przen.) = 10  → piszę 0, przenoszę 1
Kolumna 3:          0 + 1 + 1(przen.) = 10  → piszę 0, przenoszę 1
Kolumna 4 (lewa):   1 + 1 + 1(przen.) = 11  → piszę 1, przenoszę 1
Na końcu zostaje przeniesienie:       1     → dopisuję z lewej

Wynik: 1011 + 1101 = 11000.

Jak sprawdzić, czy się nie pomyliłeś

Najszybszy sposób to zamienić wszystko na system dziesiętny i porównać. 1011 to 11, 1101 to 13. Suma 11 + 13 = 24. Teraz sprawdzasz wynik: 11000 w dziesiętnym to 16 + 8 = 24. Zgadza się, więc przeniesienia poszły dobrze.

To jest nawyk, który warto wyrobić: po każdym działaniu binarnym zrób szybką kontrolę w dziesiętnym. Na maturze masz komputer pod ręką, więc taką weryfikację robisz w sekundę — choć samą metodę i tak musisz umieć rozpisać na kartce, bo część podpunktów wymaga pokazania działania, nie samego wyniku.

Pułapka, na której traci się punkty

Najczęstszy błąd to zgubienie ostatniego przeniesienia. Spójrz na 1111 + 1:

   1 1 1 1
 +       1
 ---------
 1 0 0 0 0

Każda kolumna generuje przeniesienie, które „przepycha się" w lewo, aż na samym końcu wyskakuje dodatkowa jedynka i wynik jest o cyfrę dłuższy od składników. 1111 to 15, plus 1 daje 16, czyli 10000. Jeśli zapomnisz dopisać tę jedynkę z lewej, masz źle. Gdy widzisz same jedynki w jednym ze składników, spodziewaj się łańcucha przeniesień do samego końca.

Co dalej

Dodawanie to jedno z kilku działań, które CKE potrafi sprawdzić w systemach liczbowych. Obok niego wracają konwersje między systemami (dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy, czasem nietypowe podstawy) oraz odejmowanie. Wszystkie opierają się na tej samej logice pozycyjnej, więc gdy rozumiesz przeniesienia, reszta jest wariacją na ten sam temat.

Jeśli chcesz przerobić systemy liczbowe tak, żeby na maturze były pewnymi punktami, a nie loterią, rozkładamy je na czynniki pierwsze w kursie Variant na variant.academy — razem z resztą wzorców, które wracają w arkuszach co roku.

Wiesz. Nie zgadujesz.